форма , выражение вида
aikxixk,
где aik aki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x1, х2,..., xn и обращающееся в нуль лишь при x1 х2 ... xn 0 . Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду
x2i
Для того чтобы
aikxixk
была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы D1 > 0, -, D n > 0, где
В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма
,
(где - число, комплексно сопряжённое с xk, см. Комплексные числа ) такая, что aik и f ³ 0 для всех значений x1, х2,..., xn и f 0 лишь при x1 х2 ... xn 0 , называется эрмитовой П.- о. ф.
С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы || aik || - такой матрицы , что
aik x i x k
есть эрмитова П.-о. ф.;
2) положительно-определённого ядра - такой функции К ( х, у ) , что
для любой функции x( х )с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции - такой функции f ( x ) , что ядро К ( х, у ) f ( x - y ) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f ( x ) c f (0)1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.