Значение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ

бином, биномиальный дифференциал, выражение вида

xm ( а + bxn )p dx ,

где а и b - постоянные, отличные от нуля, m , n и р - рациональные числа. Интеграл от Д. б.

выражается в конечном виде через элементарные функции лишь в трёх случаях: 1) если р - целое число; 2) если ( m + 1)/ n - целое число; 3) если [( m + 1)/ n ]+ p - целое число. Эти три случая интегрируемости Д. б. были известны ещё Л. Эйлеру . П. Л. Чебышев в 1853 показал, что во всех остальных случаях интеграл от Д. б. в конечном виде через элементарные функции не выражается. Это один из первых случаев, когда вопрос об интегрируемости в конечном виде какого-либо достаточно общего класса аналитических выражений был решён до конца. Результат Чебышева может быть поставлен в ряд с классическими теоремами о невозможности алгебраического решения различных классов алгебраических уравнений и о неразрешимости при помощи циркуля и линейки задачи о квадратуре круга .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.