(мат.) ? В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида
(1) (а +b) n = а n + P 1 a n?1 b 1 + P 2 a n-2 b 2 +... + Р n?1 аb n?1 + b n ,
где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n . Кэффициенты же Р 1 , Р 2 ,... Р n ? суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Р k оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или, выражая это формулой
(2) P k = [n(n?1)...(n-k + 1)]/1.2.3...k
Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер, рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных. В этих случаях (а + b) n представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов
а n + Р 1 a n?1 b + Р 2 а n-2 b 2 +...,
причем Р k вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая b/a = х, мы приходим к рассмотрению выражения (1+x) m или, другими словами, к нахождению суммы ряда
1 + (n/1)x + {[n(n?1)]/1T2}x 2 + {[n(n?1)(n-2)]/1T2T3}x 3 +...
для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика Абеля: "Recherches sur la serie 1 + (m/1)х +... (см. журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула
(1+x) n = 1 + nx + {[n(n?1)]/1T2}x 2 +...
1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение х;
2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при ?1 < х < +1;
3) при х = +1 имеет место, когда m > ?1;
4) при х = ? 1 имеет место, когда m > 0.
Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:
Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для
число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.
Д. Граве.