функция (от греч. monotonos - однотонный), функция, приращения которой D f ( x ) f ( x- ) - f ( x ) при D x x- - x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. - это функции, меняющиеся в одном и том же направлении. Различные типы М. ф. представлены на прилагаемой табл.:
Например, функция у x 3 является возрастающей функцией. Если функция f ( x ) имеет в каждой точке производную f- ( x ), которая неотрицательна и обращается в нуль лишь в конечном числе отдельных точек, то f ( x ) - возрастающая функция. Аналогично, если f- ( x ) £ 0 и обращается в нуль только в конечном числе точек, то f ( x ) - убывающая функция.
Условие монотонности может выполняться как для всех х , так и для х из некоторого интервала (или отрезка). В этом последнем случае функцию называют монотонной на этом интервале (или отрезке). Например, функция возрастает на отрезке [ - 1, 0] и убывает на отрезке [0, + 1].
М. ф. представляют собой один из простейших классов функций и постоянно встречаются в математическом анализе и теории функций. Если f ( x ) - М. ф., то для любого x 0 существуют пределы
и