Значение ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

функция , функция, обратная к показательной функции . Л. ф. обозначается

y ln x ; (1)

её значение y, соответствующее значению аргумента х , называется натуральным логарифмом числа х . В силу определения соотношение (1) равносильно

х еу (2)

( е - неперово число ) . Т. к. ey > 0 при любом действительном у , то Л. ф. определена только при х > 0 . В более общем смысле Л. ф. называют функцию

y logaX,

где а > 0 (а ¹ 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:

loga x MInX,

где М 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций ; её график ( рис. 1 ) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

In x +ln y ln xy .

Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

ln(1 + x ) x

Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

,

.

Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым ( рис. 2 ). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ у , ХВ х , то, согласно этому определению, dx/dy - kx , откуда .

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Ln z . Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

In z In- z -+ i arg z ,

где arg z - аргумент комплексного числа z , носит название главного значения Л. ф. Имеем

Ln z ln z + 2 k p i , k 0, |1, |2, ...

Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.