функция , функция, обратная к показательной функции . Л. ф. обозначается
y ln x ; (1)
её значение y, соответствующее значению аргумента х , называется натуральным логарифмом числа х . В силу определения соотношение (1) равносильно
х еу (2)
( е - неперово число ) . Т. к. ey > 0 при любом действительном у , то Л. ф. определена только при х > 0 . В более общем смысле Л. ф. называют функцию
y logaX,
где а > 0 (а ¹ 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:
loga x MInX,
где М 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций ; её график ( рис. 1 ) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
In x +ln y ln xy .
Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
ln(1 + x ) x
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например
,
.
Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым ( рис. 2 ). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ у , ХВ х , то, согласно этому определению, dx/dy - kx , откуда .
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Ln z . Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
In z In- z -+ i arg z ,
где arg z - аргумент комплексного числа z , носит название главного значения Л. ф. Имеем
Ln z ln z + 2 k p i , k 0, |1, |2, ...
Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
.