Значение ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД

метод, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название 'метод исчерпывания' введено в 17 в.

Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C 1, C 2, ..., Cn, ... так, что

Cn < A ;(1)

предполагают также известным такое В , что

Cn < В (2)

и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства

К ( A - Cn ) < D , К ( В - Cn ) < D ,(3)

где D - постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству

А В (4)

достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики древности, не располагавшие теорией пределов , обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В , В < А . Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (см. Архимеда аксиома ) устанавливали, что для R B - А существует такое К , что KR > D и в силу условия (1) получали

К ( В - Cn ) > К ( В - A ) > D ,

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием - Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C 1, C 2, ..., 'исчерпывающие' при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически доказывает, что при любом n

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

Большая советская энциклопедия, БСЭ.