Евклида (греч. Stoicheia, буквально - азбука; переносное значение - основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. 'Н.' Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в 'Н.' Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.
'Н.' Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция ) . Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например 'что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию' (1 постулат); 'И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг' (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): 'И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых'. Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского , построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия ) . За постулатами в 'Н.' Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: 'Равные одному и тому же равны и между собой' (1-я аксиома); 'И целое больше части' (8-я аксиома).
С современной точки зрения система аксиом и постулатов 'Н.' Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения 'Н.' Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия ) . До этого на протяжении более 2 тыс. лет 'Н.' Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.
'Н.' Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой . В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в 'Н.' Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским ; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя ( Евклида алгоритме ) . В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к 'Н.' Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом 'Н.' Е.
'Н.' Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед , Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст 'Н.' Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. - начале 9 в. появляются переводы 'Н.' Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст 'Н.' Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание 'Н.' Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250-1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга ('Euclidis Elementa', v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке 'Н.' Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - 'Начала Евклида', пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.
Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.
И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.