малая в математике, переменная величина, стремящаяся к пределу , равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y 1/ x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой . Если предел переменной у конечен и равен а , то lim (y - a ) 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.
При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z называются эквивалентными, если lim z/y 1; если при этом у является Б. м., то у и z называются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z о ( у ) (читается: 'z есть о малое от у'). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k > 0,если предел lim z/ук существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z называется Б. м. порядка выше k. Изучение порядков различного рода Б. м. - одна из важных задач математического анализа.
Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f ( x ) , определённая в окрестности точки x0, называется Б. м. при х, стремящемся к x0 , если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию |x - x0| < d, выполняется неравенство |f (x)| < e. Этот факт записывается в виде
При изучении функции f ( x )вблизи точки xo за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного D х х - х0. Формула
D y f- ( x0 ) D x + о (Dх)
выражает, например, что приращение D y дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy f ' ( x0 ) D x.
Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и 'неделимых' метод . Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши . При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.
Лит. см. при ст. Анализ математический .
С. Б. Стечкин.