(от лат. differentia - разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y f ( x ) одного переменного х имеет при х х0 производную, то приращение
D y f ( x0 + D x ) - f ( x0 )
функции f ( x ) можно представить в виде
D y f' ( x0 ) D x + R ,
где член R бесконечно мал по сравнению с D х . Первый член
dy f' ( x0 ) D х
в этом разложении и называется дифференциалом функции f ( x ) в точке x0 . Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного D x , а равенство
D y dy + R
показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения D y .
Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление .
Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия 'дифференциал' для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления .
Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L ( x ) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству
L ( x' + х'' ) L ( x' ) + L ( x'' )
для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n -мерного аргумента х { x1 ,..., xn } всегда имеет вид
L ( x ) a1x1 +... + anxn ,
где a 1,..., an - постоянные. Приращение
D L L ( x + h ) - L ( x )
линейной функции L ( x ) имеет вид
D L L ( h ),
т. е. зависит только от векторного приращения h , и притом линейно. Функция f ( x ) называется дифференцируемой при значении аргумента х , если её приращение D f f ( x + h ) - f ( x ), рассматриваемое как функция от h , имеет главную линейную часть L ( h ), т. е. выражается в виде
D f L ( h ) + R ( h ),
где остаток R ( h ) при h - 0 бесконечно мал по сравнению с h . Главная линейная часть L ( h ) приращения D f и называется дифференциалом df функции f в точке x . При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R ( h ) по сравнению с h , различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.
В случае f ( x ) º x из общего определения следует, что df h , т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.
Если сделать теперь переменной точку x , в которой определяется Д. df , то он будет функцией двух переменных:
df ( x ; h ).
Далее, считая h h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df ( x ; h1 ) как главную часть приращения
df ( x + h2 ; h1 ) - df ( x ; h1 ),
где h2 - некоторое второе, не связанное с h1 приращение x . Получаемый таким образом второй дифференциал d2f d2f ( x ; h1 , h2 ) является функцией трёх векторных аргументов x , h1 и h2 , линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x , то он симметричен относительно h1 и h2 :
d2f ( x ; h1 , h2 ) d2f ( x ; h2 , h1 ).
Аналогично определяется дифференциал dnf dnf ( x ; h1 ,..., hn ) любого порядка n .
В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x ( t ), а дифференциалы df и d2f функционала f [ x ( t )] называются его первой и второй вариациями и обозначаются d f и d2 f .
Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.
А. Н. Колмогоров.