Значение РАВЕНСТВО (МАТЕМАТИЧ.) в Большой советской энциклопедии, БСЭ

РАВЕНСТВО (МАТЕМАТИЧ.)

отношение взаимной заменимости (подстановочности) объектов, которые именно в силу их взаимной заменимости считают равными. Такое понимание Р. восходит к Г. В. Лейбницу . Взаимозаменимость может быть более или менее полной, что связано с глубиной (или интервалом) Р., но, вообще говоря, она всегда относительна, поскольку приравниваемые объекты - будь то предметы объективного мира или наши мысли (идеи, понятия, высказывания и пр.) - индивидуальны и неповторимы: в понятии 'взаимозаменимые объекты' уже содержится посылка о разделяющем их условии (признаке), т. е. индивидуация. Степень полноты взаимозаменимости (размерность Р.) естественно возрастает от сходства к тождеству. В последнем случае говорят просто о неразличимости, которую обычно приводят как критерий логического Р. (тождества), что, однако, неточно, поскольку неразличимость гарантирует, вообще говоря, только Р. в интервале (с точностью до) условий неразличимости, а это последнее, в отличие от логического Р., не связано с обязательным выполнением транзитивности. Тем не менее стало уже традицией говорить о принципе Р. неразличимых, который в языке логики предикатов первого порядка выражается аксиомой (экстенсиональности):

х у E(j( x )E( у ))

и аксиомой х х, а в языке второго порядка определением:

.

Практикуемая в приложениях логики замена этих выражений конечным списком 'содержательных' аксиом Р. для всех исходных индивидуальных функций и предикатов рассматриваемой теории с добавлением аксиом рефлексивности ( х х ),симметричности ( х у E у х ) и транзитивности ( х y&y z E x z ) Р. является по существу переходом от чисто логической формулировки Р. к более слабой его формулировке - к Р. в интервале абстракции отождествления по предикатам конкретной Тождество ).

Лит.: Шрейдер Ю. Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Математическая логика, пер. с англ., М., 1973, с. 181-199.

М. М. Новосёлов.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.