функции , аналитические функции, определяемые для |z| < 1c помощью гипергеометрического ряда . Название 'Г. ф.' было дано Дж. Валлисом (1650). Г. ф. являются интегралами гипергеометрического уравнения
z (1- z ) w' + [ g- (1 + a+ bz] w'-abw 0 .
Это уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1 и ¥ и является канонической формой уравнений гипергеометрического типа. Важнейшие специальные функции математического анализа являются интегралами уравнений гипергеометрического типа (например, шаровые функции ) или уравнений, возникающих из гипергеометрических путём слияния их особых точек (например, цилиндрические функции ). Теория уравнений гипергеометрического типа явилась основой для возникновения важной математической дисциплины - аналитической теории дифференциальных уравнений. Между различными Г. ф.
w F (a, b; g; z )
имеется большое число соотношений, например:
F (a, 1; g , z ) (1- z )v1 F (1, g - a; g; z/(z-1)).
Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.