ряд , ряд вида
Г. р. был впервые изучен Л. Эйлером (1778). Разложение многих функций в бесконечные ряды представляет собой частные случаи Г. р. Например:
(1 + z) n F (- n , b; b; -z),
ln (1 + z) z F (1, 1; 2; -z),
Г. р. имеет смысл, если g не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при |z| < 1 . Если, кроме того, g-a-b > 0, то Г. р. сходится и при z 1 . В этом случае справедлива формула Гаусса:
F (a, b; g; 1) G(g)G(g-a-b)/G(g-a)G(g-b),
где Г ( z ) - гамма-функция . Аналитическая функция, определяемая для |z| < 1 с помощью Г. р., называется гипергеометрической функцией и играет важную роль в теории дифференциальных уравнений.