? По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул
sinx = (e xi ? e ?xi )/2i, cosx = (e xi + e ?xi )/2
(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = v[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений
sinhyp x = (e x ? e ?x )/2, coshyp x = (e x + e ?x )/2.
Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.
Черт. 3.
Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора
но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде
x 2 + y 2 = 1,
а уравнение гиперболы в виде
x 2 ? y 2 = 1;
отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение
coshyp 2 x ? sinhyp 2 x = 1,
аналогичное с тригонометрическим
cos 2 x + sin 2 x = 1.
Черт. 4.
Кроме того, можно вводить функцию
tghypx = sinhypx/coshypx.
Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:
sinhyp(x + y) = sinhypх ×coshypy + coshypx× sinhypу
и
coshyp(x + у) = coshypx × coshypу ? sinhypx ×sinhypy.
Д. Гp.