К статье ГЕОМЕТРИЯ
Аксиомы и постулаты. Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.
Аксиомы. Аксиомы - это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические.
К числу общих аксиом относятся следующие.
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны.
5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается.
6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны.
7. Целое больше любой своей части.
8. Целое равно сумме своих частей.
К числу геометрических аксиом относятся следующие.
1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую.
2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы.
3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны).
4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.
Постулаты. Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств.
1. Через любые две данные точки можно провести прямую.
2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке.
3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом.
4. Все прямые углы равны.
5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную.
Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения. Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин "точка" не поддается определению.
Линии. Термин "линия" (или "кривая" в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис. 1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, "прямая - это туго натянутая линия". Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: "Прямая - это кратчайшее расстояние между двумя точками". Это "определение", однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис. 1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис. 1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой.
Как показано на рис. 1,г, 1,д и 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые - это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис. 1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить.
На рис. 1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами . Для проведения дуг 2 и 2? циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1? соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2?, есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр - это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую.
Углы. Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые - сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого - тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90?, а угол на рис. 2,д содержит больше 180?, но меньше 360?.
На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90? (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180? (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных - внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м).
На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA - биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол.
Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P - на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x3 - 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.
Треугольники. Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углы ? и ? на рис. 3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.
Прямоугольным называется треугольник (рис. 3,г), у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой; две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Некоторые соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника мы приведем в обозначениях, указанных на рис. 3,д. Знаменитая теорема Пифагора гласит; квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин катетов, или c2 = a2 + b2.
Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу:
Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис. 3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (?D = ?A + ?B).
Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис. 3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис. 3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис. 3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника.
Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис. 3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис. 3,л, если ???????, то c/a = d/b.
Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ним углам другого треугольника; и 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. Если треугольники можно перевести друг в друга преобразованием движения, не выводящим их из плоскости, в которой оба они лежат, то они называются собственно конгруэнтными; если же один из треугольников необходимо перевернуть, то треугольники называются несобственно конгруэнтными.
Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры подобны, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Если два треугольника подобны (рис. 3,м), то их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональным делителем, изображенным на рис. 3,н, пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить чертеж в требуемое число раз.
Площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную в ней высоту:
Если треугольник равносторонний, то его площадь равна , где а - длина стороны. Если а, b, c - длины сторон треугольника, то его площадь определяется по формуле
вывод которой приписывают Герону (s - полупериметр).
Четырехугольники. Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) - это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) - это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h . Площадь параллелограмма A = bh. Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.
Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Р?. Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCP? подобны. Поэтому CP? = DA?PC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Р? звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/Р?А также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Р? пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Р?, в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/Р?А = PD/CD.
Многоугольники. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все стороны и углы его равны. Расстояние от центра правильного многоугольника до какой-либо его стороны равно радиусу вписанной в него окружности (обозначен на рис. 5,а буквой а). Площадь правильного многоугольника равна произведению половины радиуса на периметр:
В табл. 1 приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (s означает длину стороны).
Древние греки научились строить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 15 сторонами. И сами греки, и многие после них безуспешно пытались разработать методы построения других многоугольников. В 1796 К.Гаусс, которому тогда было всего 19 лет, обнаружил, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае, если число сторон n равно простому числу вида или произведению простых чисел такого вида. В этой формуле t - любое целое число. Таким образом, построение с помощью циркуля и линейки правильных 7-, 9-, 11- и 13-угольников невозможно. Гаусс построил правильный 17-угольник, и из его работы следовало, что могут быть построены правильные 257-угольник и 65537-угольник.
Окружность. Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, называемой центром и лежащей в той же плоскости, что и кривая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Различные термины, используемые при изучении окружности, представлены на рис. 6,а и 6,б.
Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр (рис. 6,в). Угол называется центральным углом окружности, если его вершина совпадает с центром окружности, а стороны - с ее радиусами. Например, угол АОВ на рис. 6,в - центральный угол обеих концентрических окружностей. Окружность делится на 360 равных долей, и число градусов в центральном угле, опирающемся на дугу окружности, равно числу 1/360 долей окружности, укладывающихся в этой дуге.
На рис. 6,г А - центральный угол, а В - вписанный угол (т.е. угол, вершина которого лежит на окружности), опирающийся на ту же дугу окружности, что и центральный угол А. Согласно одной из теорем геометрии вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Например,
Следовательно, вписанный угол С, опирающийся на половину окружности, - прямой.
Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14159265 (?); площадь круга можно также записать в виде A = ??r2, где r - радиус. История точного определения числа ? (читается "пи") очень интересна сама по себе.
В 1882 немецкий математик Ф.Линдеман (1852-1939) доказал, что древняя проблема квадратуры круга, геометрически эквивалентная построению отрезка неразрешима, так как число ? не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Примеры элементарных геометрических доказательств. Утверждения элементарной геометрии распадаются на две группы: на теоремы, в которых доказательство утверждения предъявляется в явном виде, и задачи, в которых излагается способ построения, а затем проверяется его правильность. В качестве примера теоремы рассмотрим следующее доказательство.
Утверждение: в равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных стороны, равны.
Дано: треугольник АВС с равными сторонами АВ и АС.
Требуется доказать: ?B = ?C.
Шаги
Обоснование
1. Построить биссектрису AD угла ВАС.
Биссектриса угла может быть построена.
2. АВ = АС.
По предположению.
3. AD = AD.
Тождество.
4.
По построению.
5. Следовательно, треугольник ADB равен треугольнику ADC.
По второму признаку равенства треугольников: две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними углу другого треугольника.
6. Следовательно,
Соответствующие углы равных треугольников равны.
Рассмотрим пример задачи на построение.
Задача: построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность.
Дано: Окружность с центром О.
Шаги
Обоснование
1. Из точки О проводим любой радиус ОС.
Две точки определяют прямую.
2. Из точки С как из центра радиусом ОС опишем дугу, пересекающую окружность в точке F.
Построение.
3. Проведем OF и CF.
Две точки определяют прямую.
4. Треугольник OCF равносторонний.
По построению.
5. Углы в треугольнике OCF равны.
По доказанной ранее теореме.
6. Следовательно, угол COF равен 1/3 развернутого угла, или 1/6 двух развернутых углов.
Сумма углов треугольника равна развернутому углу.
7. Следовательно, дуга CF составляет 1/6 полной окружности.
Центральный угол измеряется стягивающей его дугой.
8. Следовательно, хорда CF является стороной правильного шестиугольника.
В одной и той же окружности равные дуги имеют равные хорды.