решётка (математическая); важное алгебраическое понятие. С. называется непустое множество S, для элементов которого определены две операции - объединение и пересечение, обозначаемые соответственно значками È и Ç (т. е. каждой паре элементов а и b из S однозначно сопоставлен элемент a È b из S - их объединение и элемент а Ç b из S - их пересечение), причём эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам С.):
1. Ассоциативность ( a È b ) È с, a È( b Èс):
(a Ç b ) Ç са Ç (b Ç с);
II. Коммутативность a È b b È а;
a Ç b ) b Ç а,
III. Абсорбция ( а È b ) Ç аа.
(a Ç b ) È аа.
Примеры С.: 1) множество целых положительных чисел с операциями взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного; 2) множество всех подмножеств произвольного множества с операциями взятия теоретико-множественных объединения и пересечения подмножеств; 3) множество действительных чисел с операциями взятия большего и меньшего числа из двух данных чисел.
Подробно изучены различные специальные типы С., т. е. С., на которые наложены дополнительные условия (например, дистрибутивные С., модулярные, или дедекиндовы, С., С. с дополнениями). Весьма важным частным случаем С. являются булевы алгебры, т. е. дистрибутивные С. с единицей и нулём, обладающие дополнениями к каждому элементу. Булевы алгебры имеют большое значение для математической логики и теории вероятностей. Другие типы С. находят применение в теории множеств, топологии, функциональном анализе.
В С. можно ввести частичное упорядочение (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества ) элементов, естественным образом связанное с операциями в С.; этим устанавливается равносильность теории С. и теории частично упорядоченных множеств.
Появление понятия С. относится к середине 19 в.; наиболее полно оно было определено в работах Р. Дедекинда .
Лит.: Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; Сикорский Р., Булевы алгебры, пер. с англ., М., 1969; Владимиров Д. А., Булевы алгебры, М., 1969.