ряд, ряд вида a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + anzn +...,
где коэффициенты a 0, a 1, a2,..., an,... - комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z . Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D { z : | z | < R } с центром в точке z 0 . Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R - радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z 0 (в этом случае R 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью ( R ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши - Адамара
.
Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности | z | R ) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;
, R 1,
ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (l z l > R ) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. является аналитической функцией ; производные любого порядка функции f ( z ) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.
А. А. Гончар.