Значение СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ

кривые, конфокальные кривые [от лат. con (cum) - с, вместе и фокус ] , линии второго порядка , имеющие общие фокусы. Если F и F' - две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F и F' своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырёх точках) под прямым углом (углом между двумя кривыми в точке пересечения называется угол между их касательными). Всё множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением

(*)

где с - расстояние фокусов от начала координат, а l - переменный параметр. При l > с2 это уравнение определяет эллипс, при 0 < l < с2 - гиперболу (при l < 0 - мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится система т. н. эллиптических координат . Именно, если М ( х, у ) - произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и у в уравнение (*), получим квадратное уравнение для l; корни его l1, l 2 называются эллиптическими координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. с. определяются уравнениями l const. l2 const.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.