Значение НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение

x2 + y2 - 1 0

задаёт Н. ф.

y у ( х ) ,

соотношения

x rcosjsinJ, y rsinjsinJ , z rcosJ

задают Н. ф.:

r r( x , у, z ), j j( x , y, z ) , J J( х, у, z ) .

В простейших случаях соотношения, задающие Н. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций , т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:

а во втором:

Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Н. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Н. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x2 + y2 + 1 0 не задаёт Н. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же exy 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F ( x, y )обращается в нуль при паре значений х x0, у y0 [ F ( x0, y0 ) ¹ 0] и дифференцируема в окрестности точки ( x0, y0 ) , причём F-x ( х, у ) и F-y ( х, у ) непрерывны в этой окрестности и F-y ( x0, y0 ) ¹ 0, то в достаточно малой окрестности точки x 0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у у ( х ) , удовлетворяющая соотношению F ( x, y ) 0 и обращающаяся в y 0 при x x 0; при этом y '( x ) - F-x ( x, y ) /F-y ( x, у ) .

Для приближённого вычисления значений Н. ф. вблизи точки x 0 , где её значение y 0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F ( x, у ) - аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки ( x 0, y 0) в сходящийся двойной степенной ряд] и F-y ( x0, y 0) ¹ 0, то Н. ф., заданная соотношением F ( x, y )0, может быть получена в виде степенного ряда

сходящегося в некоторой окрестности точки х х0. Коэффициенты ck , k 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F ( x , у ) 0,либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н. ф. задана соотношением

y5 + xy - 1 0, x 0 0, y0 1,

то

и

откуда

c 0 1, c 1 -1/5 c 0-3, c 2 -2 c 12 c 0-1 - 1/5 c 1 c 0-4 -1/25 и т.д.

Если соотношение F ( x, у ) 0 может быть представлено в виде у а + х j( у ) , где j( y ) - аналитическая функция, то Н. ф. у у ( х ) , заданная этим соотношением и принимающая значение а при х 0, разлагается в ряд Лагранжа

сходящийся в некоторой окрестности точки х 0. Например, из соотношения у а + x sin y (так называемое Кеплера уравнение ) можно получить:

Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.