Значение НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ

дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида

где a 0 - любое целое число, a 1, a2 ,..., an ,... - натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде

где a 0 - целое число и 0 < 1/a1 < 1, затем, записывая в таком же виде a1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:

[ а 0; a 1, a 2 ,..., an,... ] (бесконечная Н. д.)(2)

или

[ а 0; а 1, a 2 ,..., a n] (конечная Н. д.).(3)

Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы a n ¹ 1 . Н. д. [ а 0; a 1, a 2,..., a k] ( k £ n ), записанную в виде несократимой дроби pk / qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:

pk +1 ak +1 pk + pk -1 , qk +1 ak +1 qk + qk -1 ,

которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение

pkqk -1 - qkpk- 1 |1.

Для каждой бесконечной Н. д. существует предел

называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением a указанным выше образом, например

( е - 1)/2 [0, 1,6, 10,14, 18,...];

квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.

Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m / n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство | n a - m | > | gk a - pk l; при этом | qk. - pk | < 1 /qk+ 1 . Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные - меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.

Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа a степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x / y выполняется неравенство |a - x / y | > l/ у n. С помощью Н. д. можно построить числа a такие, что разность |a - pk / qk | делается меньше a/ gk , какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.

Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли . В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис ;ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс , занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.

В 19 в. П. Л. Чебышев , А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов .

Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. - Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. - Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbruchen, 2 Aufl., Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.