Если делится какое-нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то могут представиться два случая: или в ряду целых чисел найдется число х, которое этому условию удовлетворит, или же окажется, что такого числа х не существует. Поэтому, если ограничиться рассмотрением совокупности одних целых чисел, то задача деления одного целого числа на другое будет разрешаться только в некоторых частных случаях; вообще же решение ее будет невозможно. Это обстоятельство заставляет ввести в круг нашего рассмотрения новую область чисел — дробей.Условимся принимать, что каждым двум целым числам а и b соответствует одна дробь, которую и обозначим a/b; целое число а назовем числителем Д. a/b, а число b — знаменателем ее. Условимся две Д. a/b и c/d считать равными только тогда, если можно найти два таких целых числа m и n, чтобы удовлетворились условия: am = cn и bm = dn. Отсюда следует, что am/bm = a/bНа этом основывается первая операция с дробями — сокращение: если числитель и знаменатель Д. a/b имеют общего множителя l, то Д. a/b может быть представлена в виде: a/b = la'/lb' = a'/b'. Д. называется несократимою, если числитель и знаменатель ее не имеют общего множителя. Вместе с тем на основании введенных условий всегда возможно две Д. — а/b и с/d — привести к общему знаменателю и к общему числителю. Условимся считать Д. a/b больше c/d, если по приведении к общему знаменателю N = mb = nd, числитель первой Д. ma будет больше числителя второй nc; и наоборот, пусть a/b d/10m и a/b bd и 10ma m, то достаточно разделить 10nа на b, т. е. продолжить указанное вычисление еще на несколько знаков; таким образом новая Д. будет заключать в первых m разрядах те же цифры, что и ранее найденная; увеличение степени приближения не изменяет уже найденных при меньшем приближении цифр соответствующей десятичной Д. Если показатель m в 1/10m (степени приближения десятичной дроби к заданной обыкновенной) достаточно велик, то десятичная Д. будет заключать в своем выражении периодическое повторение цифр; напр., если m = 12, то соответствующая 1/7 десятичная Д. 1,142857142857.Разность между обыкновенной Д. a/b и соответствующей ей десятичной, в которой увеличиваем число периодов, уменьшается и при достаточном повторении периода может быть сделана менее всякой наперед заданной величины. В этом смысле говорят, что всякая обыкновенная Д., которая не может быть обращена в конечную десятичную Д., обращается в бесконечную периодическую Д. и в этом смысле пишут напр. 1/7 = 0,142857... или 1/7 = 0,(142857).Периодические Д. бывают простые (чистые) и смешанные. Простыми периодическими Д. наз. те, у коих период начинается с первой после запятой цифры; смешанными же наз. те Д., перед началом периода коих встречаются другие цифры, в период не входящие. Простая периодическая Д. получается от обращения обыкновенной Д., у которой в знаменатель не входят совсем множители 2 и 5. Обратно, если знаменатель обыкновенной., по приведении ее к несократимому виду заключает множителей 2 или 5, то соответствующая периодическая Д. будет смешанною.Нахождение по заданной периодической дроби той обыкновенной дроби, которой она соответствует, производится по следующим правилам: для обращения чистой (простой) периодической дроби надо период разделить на число, в котором цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде. Чтобы найти соответствующую смешанной периодической Д. обыкновенную, нужно числитель последней положить равным разности чисел, взятых до 2-го и 1-го периода данной Д., а в знаменателе повторить цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и приписать справа. столько нулей, сколько цифр до периода.Алгебрическою Д. называется выражение вида a/b, где под а и b разумеются какие угодно величины.Д. показатели — см. Показатель.Д. дифференцирование — см. Интегральное исчисление.Непрерывные Д. Непрерывными Д. называются выражения вида b21_164-1.jpg Если числа а, b, с,.... l, m — целые и положительные, то непрер. Д. называется арифметическою; если же это какие угодно величины — то алгебраическою.Создателем исчисления непрерывных Д. является знаменитый голландский математик Гюйгенс (Huyghens); до него около половины XVII века одним любителем математики, лордом Брункером, была дана без доказательства и без указаний на свойства непрерывных Д. следующая формула для приближенного вычисления отношения одной восьмой части окружности к ее радиусу: b21_164-2.jpg Гюйгенс же, в мемуаре "Descriptio automati planetarii", напечатанном в 1680 г., не только указал на главнейшие свойства непрерывных Д., но и дал весьма остроумное приложение этих свойств к определению числа зубцов на колесах модели планетной системы. Дальнейшее развитие теории непрерывных Д. дано Эйлером и особенно Лагранжем; последнему принадлежит честь введения в анализ алгебраических непр. Д. При помощи свойств этих Д. оказалось возможным решение многих весьма сложных вопросов, к коим неприложимы методы исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений); поэтому применение теории алгебраических непрерывных Д. к различным вопросам анализа послужило предметом замечательных по остроумию методов и по достигнутым результатам мемуаров ряда ученых с Гауссом и Чебышевым во главе. Для истории русской математической литературы эта теория имеет тем больший интерес, что наиболе существенные результаты (после Лагранжа и Гаусса) достигнуты в ней известным русским математиком П. Л. Чебышевым и его учениками.Разложение обыкновенных Д. в непрерывные. Пусть дана обыкновенная несократимая Д. a/b; если поступать с числами а и b как поступают при отыскании общего наибольшего их делителя последовательным делением (см. Деление), то получится такой ряд равенств: b21_165-1.jpg Здесь все числа q и r положительны; при этом b> r1,> r2 >... > rn-1; поэтому мы дойдем непременно до остатка rn, равного нулю. На основании уравнений (I) для a/b получается конечная непрерывная Д.: b21_165-2.jpg Числа q1, q2, q3,... qk,... qn называются первым, вторым, третьем, k-ым, n-ым неполными частными непрерывной Д. a/b; числа b/r1, r1/r2,... rn—2/rn—1, которые в дальнейшем будут обозначаться через p1, p2,... pn—1 называются первым, вторым, третьим,... n—1-ым полными частными непр. Д.Обыкновениые Д. b21_165-3.jpg называются первою, второю, третьей и т. д. подходящими дробями к a/b. Не трудно видеть, что Д. a/b больше первой, третьей, вообще нечетной подходящей Д., и меньше второй, четвертой, вообще четных подходящях дробей.Д. a/b всегда заключается между двумя подходящими дробями.Обозначим числителя и знаменателя k-той подходящей к a/b Д. через Рk и Qk. В таком случае: b21_165-4.jpg числитель k-той подходящей Д. равен произведению числителя k — 1 подходящей Д. на k-тое неполное частное, сложенному с числителем k — 2-ой подходящей Д.; а знаменатель k-ой подходящей Д. равен произведению знаменателя k—1-ой Д. на k-тое неполное частное, сложенному с знаменателем k—2-ой подходящей Д.и Б) b21_165-5.jpg Для доказательства положений достаточно проверить их справедливость для первых подходящих дробей и затем убедиться, что если правило справедливо для некоторого значка а, то оно будет справедливо и при k+1. Из этих формул вытекают такие следствия:1) Все числа Рk и Qk положительны и притомPn>Pn—1>... >Pk>... P2>P1Qn>Qn—1>... >Qk>... >Q12) Разность двух подходящих дробей по численной величине равна единице, деленной на произведение знаменателей этих дробей, т. е. b21_165-6.jpg 3) Разность Pn/Qn — a/bпо численной величине менее1/(Qn Qn+1) или 1/Qn24) Каждая последующая подходящая Д. более приближается к величине a/b, чем предшествующая.и 5) Подходящая Д. более приближается к значению Д. a/b, чем всякая другая Д., знаменатель которой меньше знаменателя подходящей дроби.Простейшее приложение непрерывных дробей — решение в целых числах неопределенного уравнения:ах — by = с, (**)где а, b, с — числа целые, положительные, причем а и е взаимно простые. Пусть a/b разлагается в непрерывную Д. (*), так что b21_166-1.jpg Если n — число нечетное, то надо взять при единице знак —, и в таком случае очевиднох = с (b — Qn—1), y = c (a — Pn—1)будут решениями ур-ния (*); если n четное, то надо взять при единице знак +, и тогдаx = cQn—1, у = сРn—1будут решениями ур-ния (**). Все прочие решения найдутся из формул х+bk, y+ak, давая k значения целые между —? и +?; решения ур-ния ах + by = c найдутся по тому же приему, по замене у на —у1Разложения иррациональных чисел в непрерывные Д.: пусть А — число иррациональное и пусть q1 есть целое число, ближайшее к А и меньше A; положим A = q1+ 1/a1; число а1> о и также иррациональное (иначе А было бы рациональное); пусть q2 есть целое число, ближайшее к а1 и меньшее а1; положим а1 = q2 + 1/a2; поступая таким же образом с а2, a3... и т. д., мы получим ряд равенств b21_166-2.jpg откуда находим для А такую непрер. Д. b21_166-3.jpg Если через Pk/Qk обозначить k-тую подходящую Д. этой непрерывной Д., то при k четном A
Pk/Qk и т. д.; вообще все указанные выше теоремы будут совершенно применимы и здесь. Можно еще доказать, что при достаточно большом n разность между А и Pn/Qn по численной величине может быть сделана менее всякой наперед заданной величины ?. В самом деле, по численной величине b21_166-4.jpg поэтому, если b21_166-5.jpg то эта разность действительно меньше ?; но числа Q1 = q1, Q2,... Qn — числа целые и возрастающие; поэтому при достаточно большом n Qn может быть сделано больше всякой наперед заданной величины, следовательно и больше 1/??; теорема таким образом будет доказана; на основании этой теоремы говорят, что всякое иррациональное число А может быть обращено в бесконечную непрерывную Д, и обозначают засим b21_166-6.jpg Если число А удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными (целыми или дробными) коэффициентами, т. е. если аА2 + bA + с = 0 (a, b и с — числа рациональные), то соответствующая бесконечная непрерывная Д. будет периодическою, и наоборот.С. Савич.