(от лат. quantum - сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа 'все', 'каждый', 'некоторый', 'существует', 'имеется', 'любой', 'всякий', 'единственный', 'несколько', 'бесконечно много', 'конечное число', а также все количественные числительные. В формализованных языках , составной частью которых является исчисление предикатов , для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот 'для всех х ', обозначается через " x, ( " x), (x) ( A x), ) и К. существования ('для некоторых х ', обозначения: $ x, ( $ x), (Ех),
С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: 'все А суть В ' записывается в виде " x [ A ( x )E E B ( x )], 'ни одно A не есть B ' - в виде " x [ A ( x )E B ( x )], 'некоторые А суть B ' - в виде $ x [ A ( x )& B ( x )], 'некоторые А не суть В ' - в виде $ x [ A ( x )& B ( x )] (здесь А ( х ) означает, что х обладает свойством A , E - знак импликации , - отрицания , & - конъюнкции ).
Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией ); связанные же вхождения переменных можно 'переименовывать'; например, записи $ x ( x 2 y ) и $ z ( z 2 y ) означают одно и то же, чего нельзя сказать о $ x ( x 2 y ) и $ x ( x 2 t ). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не 'фиктивный', т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный - в одноместный, одноместный - в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными 'постулатами квантификации' (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими 'постулатами Бернайса': аксиомами A ( t ) E $ xA ( x ) и " xA ( x ) E A ( t ) и правилами вывода 'если доказано С E А ( х ) E С , то можно считать доказанным и С E " хA ( х )' и 'если доказано А ( х )E С , то можно считать доказанным и $ хA ( x ) E C ' (здесь х не входит свободно в С ).
К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности $ ! x ('существует единственный х такой, что') можно писать 'обычные' К., заменяя $ ! xA ( x ) на
$ xA ( x ) & " y " z [ A ( y )& A ( z ) E y z ].
Аналогично, К., 'ограниченный' каким-либо одноместным предикатом P ( x )( $ xP (x) , читается как 'существует x , удовлетворяющий свойству Р и такой, что', а " xp ( x ) - 'для всех х , удовлетворяющих свойству Р , верно, что'), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:
$ xp (x) A ( x ) º $ x [ P ( x )& A ( x )] и
" xp (x) A ( x ) º " x [ P ( x )E A ( x )].
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42-48.
Ю.А. Гастев.