одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы , кольца , поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.
Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x x 1+ x 1 и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y y 1 y 2 . Можно показать, что внутреннее 'устройство' этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р , поставив в соответствие числу х из R число у ax ( а > 1) из Р. Тогда сумме x x 1+ x 2 будет соответствовать произведение y y 1 y 2 чисел соответствующих x 1и x 2. Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x log a y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R , можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р . Например, если в R сумма
членов арифметической прогрессии выражается формулой
то в Р произведение
членов геометрической прогрессии выражается формулой
(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n -ю степень, а делению на два - извлечение квадратного корня).
Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения - полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S , можно рассматривать как 'модель' системы S ('моделировать систему S при помощи системы S' ') и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств 'модели' S'.
Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения
а во второй - отношения
Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие
(где х - произвольный элемент S , а x' - произвольный элемент S' ), что из наличия Fk ( x 1, x 2, ... ) вытекает F'k ( х' 1, х' 2, ... ), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F ( x, x 1 , x 2), где x x 1 + x 2 , в системе Р - отношение F' ( y , y 1, y 2), где у у 1 у 2; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у ax , х 1og ay. ]
Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много 'интерпретаций', или 'моделей' (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии).
Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии .
Частным случаем И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fk ( x 1, x 2, ...) на самоё себя, при котором из Fk ( x 1, x 2, ...) вытекает F'k ( x' 1, x' 2, ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. - Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. - Л., 1951.