Значение ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

функция, функция вида

т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. - простейшая среди рациональных функций . При ad - bc 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad - bc ¹ 0, но с 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции у a х + b. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad - bc ¹ 0 и с ¹ 0; графиком Д.-л. ф., когда х принимает действительные значения, является равнобочная гипербола .

Если х принимает произвольные комплексные значения (а, b , с и d - фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ¥) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф. Двойное отношение четырёх точек

является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x 1 в y 1, x 2 в y 2, x3 в у3 и x4 в y4 , то

Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.