Значение ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

число, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q , где р и q - целые, q ¹ 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые - только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Строгая теория Д. ч., которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й половине 19 в. трудами К. Вейерштрасса , Р. Дедекинда и Г. Кантора . Множество всех Д. ч. называется числовой прямой и обозначается R . Это множество линейно упорядочено и образует поле по отношению к основным арифметическим операциям (сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R , и R есть его пополнение. Числовая прямая R подобна геометрической прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[ an , bn ]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.

Теория Д. ч. является одним из важнейших узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на котором строится теория пределов , а вместе с ней - всё здание современного математического анализа. Подробнее см. Число .

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.