? Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного у в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного х в тех случаях, когда х и у связаны уравнением вида f(x,y) = 0. Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:
Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного у по степеням переменного x, т. е. в нахождении для разложения:
y = Ax ? + By ? + Cy ?
показателей: ?, ?, ? ... и коэффициентов: А, В, С... Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: ? < ? < ?... Вставив в данное уравнение (1) вместо у величину Ax ? получим:
если ? наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:
(3)... m 0 + m 0 ?; m 1 + m 1 ?; m 2 + m 2 ? ...
найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении ? сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения ? и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента А, вставим один из найденных наименьших показателей вместо ? в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного x . Таким образом получим уравнение, из которого определится А. Найдя ? и А, полагаем:
у = Ах ? + y 1
Вставляя эту величину переменного у в данное уравнение (1), получим уравнение вида F(x,y 1 ) = 0, с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член Вх ? искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного х в разложении у, которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного ? . Затем, полагая
у 1 = Вх ? у 11
преобразуем уравнение F(y,x 1 ) = 0 в уравнение F 1 (x,у 11 ) = 0 и продолжаем вычисление для определения Cy ? и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений ?, при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:
(1)'... x 2 y 3 ? 3x 3 y 2 ? 3y 2 + xy + x 4 + 1 = 0
Вставляя в него вместо у величину Ах, получим:
(2)'... A 3 х 3 ? + 2 ? 3A 2 x 2 ? +3 ? A 2 x 2 ? + Ax ? + 1 + 1 = 0
Показатель 2 ? + 3 второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких ? более показателя 2 ? третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:
(3)'... 3 ? + 2; 2 ?; ? + 1; 0.
Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то:
3 ? + 2 = 2 ?;
3 ? + 2 = ? + 1
и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения ?, составляем табличку:
Величины ряда (3)'
I
II
III
IV
V
VI
= ? 2
? = ? 1 / 2
? = ? 2 / 3
? = + 1
? = 0
? = ? 1 3 ? + 2
? 4
+ 1 / 2
0
5
2
+ 1 2 ?
? 4
? 1
? 4 / 3
2
0
? 2 ? + 1
? 1
1 / 2
1 / 3
2
1
0 0
0
0
0
0
0
0
Началу наименьших показателей удовлетворяет только ? = ? 2 и ? = 0, потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число ? 4 стоит против 3 ? + 2 и против 2 ?, в V-м столбце число 0 стоит против 2 ? и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина ? = + 1 не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: А 1 х ? 2 и А 2 х 0 . Для определения А 1 замечаем, что при подстановке ? 2 вместо ? в уравнение (2)' окажутся равными показатели членов: A 3 х 3 ? + 2 и A 2 x 2 ? . Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: А 3 ? А 2 = 0, откуда А 1 = 1. Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо ?), что А 2 = ¦ 1. Итак, получим три разложения:
у = x ? 2 +...
у = + 1 +...
y = ? 1 +...
Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным x ? 2 . Чтобы найти следующий член, полагаем: у = x ? 2 + y 1 . Вставив эту величину у в данное уравнение, получим:
x 2 (x ? 2 + y 1 ) 3 ? (3x 3 + 1) (x ? 2 + y 1 ) 2 + x(x ? 2 + y 1 ) + x 4 + 1 = 0
поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим В и ? и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного х можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если х небольшая величина. Если же х величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение у по нисходящим степеням переменного х. В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: "Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam". Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: "Introduction à l'analyse des lignes courbes algebriques" (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: "Jonrnal des Math ematiques pures et applique es" (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев ? к теории дифференциальных уравнений: "Математический Сборник" (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в "Аналитической Геометрии" Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его "Cours d'alg è bre superieure" (т. II) и у Бугаева в его ст.: "Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций" ("Матем. Сборник", т. XIV).
Н. Д.