Значение слова ЗАВОЁВЫВАТЬ в Новом толково-словообразовательном словаре русского языка Ефремовой

несов. перех.

1) Покорять вооруженной силой, насильственно подчинять себе; захватывать.

2)

а) перен. Приобретать что-л., овладевать чем-л. ценой труда, усилий и т.п.

б) разг. Привлекать кого-л. к себе, вызывая симпатию, располагать к себе.