функция, функция f ( x ) ха, где а - фиксированное число (см. Степень ) . При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а - рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0 . При х 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0| определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а - рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х > 0 С. ф. - возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0 . С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом ( xa ) ' axa-1. Далее,
, при a ¹ -1;
в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.
Функции вида у cxa, где с - постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики - прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1 ), при а -1 - обратную пропорциональность (графики - равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2 ). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у cxa ( см. рис. 3 ); например, у cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения ( у - путь, х - время, 2 c - ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).
В комплексной области С. ф. z a определяется для всех z ¹ 0 формулой:
, (*)
где k 0, | 1, | 2,.... Если а - целое, то С. ф. z a однозначна:
.
Если а - рациональное (а p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. za принимает q различных значений:
где ek - корни степени q из единицы: и k 0, 1, -, q - 1 . Если а - иррациональное, то С. ф. z a - бесконечнозначна: множитель ea2k p i принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. za определяется той же формулой (*). Например,
так что, в частности, , где k 0, | 1, | 2,....
Под главным значением ( za ) 0 С . ф. понимается её значение при k 0, если -p < arg z £ p (или 0 £ arg z < 2p). Так, ( za )| za | eia arg z, ( i )0e -p/2 и т.д.