Значение СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП

отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном ('сжимающем') отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у Ax из М , порождает в пространстве М уравнение

Ax х . (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у Ax . Точка х называется неподвижной точкой отображения А , если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А .

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

d ( Ax, Ау ) £ a d ( х, у ),

где символ d ( u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М .

С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность { xn }, определяемая рекуррентными соотношениями

xn Axn-1 , n 1,2,...,

имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А . При этом справедлива следующая оценка погрешности:

.

С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом .

С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.

Ш. А. Алимов.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.