отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном ('сжимающем') отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у Ax из М , порождает в пространстве М уравнение
Ax х . (*)
Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у Ax . Точка х называется неподвижной точкой отображения А , если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А .
Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство
d ( Ax, Ау ) £ a d ( х, у ),
где символ d ( u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М .
С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность { xn }, определяемая рекуррентными соотношениями
xn Axn-1 , n 1,2,...,
имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А . При этом справедлива следующая оценка погрешности:
.
С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом .
С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.
Ш. А. Алимов.