интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
F (x, у, у',..., y (n)) 0
- соотношение
F( х, у, C1,..., Cn ) 0,
содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное дифференциальное уравнение (см. Дифференциальные уравнения ). Иными словами, это уравнение должно представлять собой результат исключения постоянных C1 ( i 1,..., n ) из уравнений:
, (*)
причём эти постоянные существенны в том смысле, что процесс исключения их из системы (*) не может привести к дифференциальному уравнению, отличному от данного. О. и. тесно связан с общим решением . Если постоянным Ci , входящим в О. и., дать определённые значения, то получим частый интеграл. Неполное исключение постоянных Ci из системы (*) приводит к промежуточному интегралу
Fk ( х, у, у',..., у ( n-k )) , C1 ,..., Ck 0
(где 1 £ k £ n- 1); в частности, при k 1- к первому интегралу . Геометрически О. и. представляет n -параметрическое семейство интегральных кривых.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.