(от мета... ), теория, анализирующая структуру, методы и свойства какой-либо другой теории - т. н. предметной теории, или объектной. Термин 'М.' осмысленно употребляется лишь по отношению к некоторой конкретной предметной теории; так, М. логики называют металогикой , М. математики - метаматематикой ; аналогичный смысл имеют термины 'метахимия', 'метабиология' и т. п. (за исключением 'метафизики'). В принципе можно говорить о М. любой научной дисциплины, как дедуктивной, так и недедуктивной (например, метатеоретическая роль в известном смысле играет философия); однако по-настоящему продуктивным понятие М. оказывается в применении именно к дедуктивным наукам: математике, логике и математизированным фрагментам естествознания и др. наук (например, лингвистики). Более того, фактическим объектом рассмотрения в М. оказывается, как правило, не сама по себе та или иная содержательная научная теория, а её формальный аналог и экспликат - точное понятие исчисления ( формальной системы ); если же подлежащая исследованию в М. теория носит содержательный характер, то она предварительно подвергается формализации . Т. о., часть М., изучающая структуру своей предметной теории, имеет дело с ней именно как с формальной системой, т. е. воспринимает её элементы как лишённые какого бы то ни было 'содержания' (смысла) чисто формальные конструктивные объекты , строго идентифицируемые (или, наоборот, различаемые) между собой, из которых по четко сформулированным правилам образования строятся знакосочетания, являющиеся 'выражениями' (формулами) данной формальной системы. Эта часть М. - т. н. синтаксис - изучает также дедуктивные средства рассматриваемой предметной теории (см. Дедукция ); в ней, в частности, определяется понятие (формального) доказательства для данной предметной теории, а также более общее понятие вывода из данных посылок. Сама М., в отличие от предметной теории, есть теория содержательная: характер используемых в ней средств описания, рассуждения и доказательства может быть каким-либо специальным образом оговорён и ограничен, но во всяком случае сами эти средства суть содержательно понимаемые элементы обычного (естественного) языка и 'логики здравого смысла'. Основное содержание М. составляют метатеоремы , или 'теоремы о теоремах'. Примером синтаксической метатеоремы может служить теорема о дедукции, устанавливающая связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (например, в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации , входящей в 'алфавит' данной предметной теории.
В круг интересов М. входит также рассмотрение всевозможных интерпретаций исследуемой формальной системы; соответствующая часть (или аспект) М., воспринимающая предметную теорию как формализованный язык , называют семантикой (см. Логическая семантика ). Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой 'естественной' его интерпретации, совпадают.
Многие понятия М. (и относящиеся к ним метатеоремы) носят 'смешанный' характер: и синтаксический, и семантический. Таково, например, важнейшее понятие непротиворечивости , определяемое и как невыводимость в предметной теории формального противоречия (т. е. конъюнкции некоторой формулы и её отрицания ; т. н. внутренняя непротиворечивость), и как 'соответствие' данной предметной теории некоторой её 'естественной' интерпретации (т. н. внешняя, или семантическая, непротиворечивость); совпадение обоих этих понятий по объёму есть нетривиальный факт М., относящийся, очевидно, и к синтаксису, и к семантике данной теории. Классическим примером метатеоремы, связывающей ряд важнейших синтаксических и семантических понятий, являются теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики (и содержащих её более богатых логико-математических исчислений) и о невозможности доказательства непротиворечивости широкого класса исчислений формализуемыми в этих исчислениях средствами. Понятие разрешимости формальной теории носит, напротив, чисто синтаксический характер, а понятие полноты - по преимуществу семантический. М., конечно, сама может быть формализована и быть предметом изучения некоторой метаметатеории и т. д.
Понятие 'М.' впервые было выдвинуто Д. Гильбертом в связи с его программой обоснования классической математики средствами создаваемой его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важнейших метатеоретических результатов (главным образом семантического содержания) был получен А. Тарским . В развитие идей Тарского и Р. Карнапа, Х. Б. Карри называет М. 'эпитеорией', резервируя термин 'М. ' для некоторого более специального словоупотребления. См. также Аксиоматический метод , Метаязык , Математический формализм .
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. III-VIII, XIV, XV; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960 (введение); его же. Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер с англ., М., 1969, гл. 2-3.
Ю. А. Гастев.