функции, вариация функции, одна из важнейших характеристик функции действительного переменного. Пусть функция f ( x ) задана на некотором отрезке [ a , b ]; её изменением, или полным изменением, на этом отрезке называется верхняя грань сумм
распространённая на всевозможные разбиения
отрезка [ a , b ] на конечное число частей. Геометрически изменение непрерывной функции f ( x ) представляет собой длину проекции кривой у f ( x ) на ось ординат, считая кратность покрытия (теорема Банаха). И. ф. f ( x ) на отрезке [ а , b ] принято обозначать символом
.
Если функция f ( x ) имеет непрерывную производную, то
Свойства И. ф.: 1) если а < Ь < с, то
Существуют непрерывные функции, изменение которых бесконечно; например,
Если И. ф. конечно, то такая функция называется функцией с ограниченным изменением (функцией с конечным изменением, или функцией ограниченной вариации). Функции с ограниченным изменением были определены и впервые изучались К. Жорданом (1881). Многие важные функции принадлежат к числу функций с ограниченным изменением, например монотонные функции , заданные на отрезке, функции с конечным числом максимумов и минимумов, функции, удовлетворяющие Липшица условию . Всякая функция с ограниченным изменением на отрезке [ а, b ]имеет не более чем счётное множество разрыва точек , и притом первого рода, интегрируема по Риману и есть разность двух неубывающих функций (К. Жордан). Предел сходящейся последовательности функций с равностепенно ограниченными изменениями есть функция с ограниченным изменением. Функции с ограниченным изменением имеют почти всюду конечную производную, которая интегрируема по Лебегу (теорема А. Лебега ).
Функции с ограниченным изменением имеют приложения в теории интеграла Стилтьеса, в теории тригонометрических рядов, в геометрии.
Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 3 изд., М. - Л., 1938; Kaмкe Э., Интеграл Лебега-Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. - Л., 1951; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.
С. Б. Стечкин.