и убывание функции , функция y f ( x ) называется возрастающей на отрезке [ a , b ] , если для любой пары точек х и х' , а £ х < х' £ b выполняется неравенство f ( x ) £ f ( x' ), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f ( x ) < f ( x' ). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у х 2 ( рис. , а) строго возрастает на отрезке [0,1], а
( рис. , б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f ( x )-, а убывающие f ( x )¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f ( x ) была возрастающей на отрезке [ а , b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f '( x ) была неотрицательной на [ а , b ].
Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у f ( x ) называется возрастающей в точке x 0, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x 0, что для любой точки х из (a, b), х > x 0, выполняется неравенство f ( x 0) £ f ( x ), и для любой точки х из (a, b), х < x 0, выполняется неравенство f ( x ) £ f ( x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0. Если f '( x 0) > 0, то функция f ( x ) строго возрастает в точке x 0. Если f ( x ) возрастает в каждой точке интервала ( a , b ), то она возрастает на этом интервале.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.
С. Б. Стечкин.