выражение, сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция j ( x ) является А. в. для f ( x ) при х - ¥ (или х - а ) , если f ( x ) /j ( x )-1при х - ¥ (или х - а ) , или, что то же самое, если f ( x ) j ( x )[1 + a ( x )] , где a ( х )- 0при х - ¥ (или х - а ) . В этом случае пишут: f ( x ) ~ j ( x ) при х - ¥ (или х - а ) . Как правило, j (x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х - 0 могут служить sin x ~ x, tg x ~ x, ctg x ~ 1 /x, 1 - cos x ~ x22, ln(1 + x ) ~ x, ax - 1 ~ x ln a (a > 0, a ¹ 1). Более сложные А. в. при х - ¥ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, p( x ) ~ x/ ln х, где p( x ) - число простых чисел, не превосходящих х,
где Г( u ) - гамма-функция , для целочисленных значений х n имеем Г(n + 1) n !, что приводит к Стирлинга формуле :
Ещё более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции .
А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z x + iy. Так, например, \sin ( x + iy ) \ ~ e/y//2 при y - ¥ и y - -¥.
А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.
Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.
В. И. Левин.