? Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x , y , z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i , j , k ? символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:
A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i 2 = -1, j 2 = - 1, k 2 = -1.
B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:
ij = k, ji = -k
jk = i, kj = - i
ki = j, ik = -j.
Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора ? = xi + yj + zk на другой вектор ? 1 = х 1 i + y 1 j + z 1 k получается на основании свойств А и B следующее выражение:
s + fi + gj + hk ..... (С)
в котором:
s = - (хх 1 + yy 1 + zz 1 )
f = уz 1 ? zу 1
g = zx 1 ? xz 1
h = xy 1 - yx 1
Означим через r и r , длины обоих векторов, через ? угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол ? до совмещения с направлением r 1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m , n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.
Известно, что хх 1 + yy 1 + zz 1 = rr 1 cos ? и что
f = -l rr 1 sin ?
g = - тrr 1 sin ?
h = - nrr 1 sin ?
поэтому
?? 1 = - rr 1 cos ? ? ? rr 1 sin ?, где
? = li+ mj + nk.
Следовательно, произведение ?? 1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение ( rr 1 cos ?) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r 1 , отложенного от конца вектора r . Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glаn, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".
Д. Б.