Значение слова КВАТЕРНИОНЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

КВАТЕРНИОНЫ

(от лат. quaterni - по четыре), система чисел, предложенная в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном. К. возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел х + iy, где х и у - действительные числа, i - базисная единица с условием i2 -1. Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя 'устроить' числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел. Однако если отказаться от одного свойства - коммутативности (переместительности) умножения, - сохранив все остальные свойства сложения и умножения, то из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве и называются кватернионами. К. представляют собой линейную комбинацию четырёх 'базисных единиц' 1, i, j, k: Xxo (1 +x1+x2j+x3k, где хо, х1, x2, х3 - действительные числа. Действия над К. производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц, указанных в таблице

1

i

j

k

1

1

i

J

k

I

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

J

-i

~!

Из таблицы видно, что 1 играет poль обычной единицы и, следовательно, в записи К. может быть опущена:

Xxo+x1i+x2j+x3k.

(1)

В К. (1) различают скалярную часть хо и векторную часть

Vx1i +x2j+x3k, так что Xxo+V.

Если хо 0, то кватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными векторами .

В середине 19 в. К. воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения К. к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило К. из этих областей. Ясно, что роль К. ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.

Лит.: см. при ст. Гиперкомплексные числа .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.