Значение ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ НЕЗАВИСИМОЙ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции f(x) всегда выражается формулойdf(x) = f'(x).dxпричем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная х будет некоторой новой функцией от t, ? (t), то вместо х придется подставить ?(t), а вместо dx величинуd?(t) = ?'(t).dt.Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция П(x, у, y', y''... y⁽ⁿ⁾). Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение П, новую независимую переменную ?, ее новую функцию ? и производные от этой функции ? по ?, которые означим через ?', ?''... ?⁽ⁿ⁾, так что будетП(х,у,у'....y⁽ⁿ⁾) = Ф(?, ?, ?'... ? ⁽ⁿ⁾).Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ? и ?, с другой, что возможно выразить функцию П в виде некоторой функции Ф от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнениеП(х,у,у'....y⁽ⁿ⁾) = 0привести соответствующим выбором новых переменных к видуФ(?, ?, ?'... ? ⁽ⁿ⁾) = 0которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:d²u/dy² — a²(d²u/dx²) = 0.Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ? и ? при помощи уравнений? = х + ау? = х — ауОтсюда будетd²u/dy² — a²(d²u/dx²) ⁼ d²u/(d?d?)и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простоеd²u/(d?d?) = 0которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будети = П(?) + Ф(?)(см. Интегрирование уравнений). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. Интегральное исчисление.Д. Граве.