Значение ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ НЕЗАВИСИМОЙ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ НЕЗАВИСИМОЙ

? Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции f(x) всегда выражается формулой

df(x) = f'(x).dx

причем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная х будет некоторой новой функцией от t, ? (t), то вместо х придется подставить ? (t), а вместо dx величину

d ? (t) = ? '(t).dt.

Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция П(x, у, y', y"... y (n) ). Требуется ввести вместо независимой переменной x , ее функции у и всех производных, входящих в выражение П, новую независимую переменную ?, ее новую функцию ? и производные от этой функции ? по ?, которые означим через ? ', ? "... ? (n) , так что будет

П(х,у,у'. ... y (n) ) = Ф(?, ?, ? '... ? (n) ).

Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ? и ?, с другой, что возможно выразить функцию П в виде некоторой функции Ф от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнение

П(х,у,у'....y (n) ) = 0

привести соответствующим выбором новых переменных к виду

Ф( ?, ?, ? '... ? (n) ) = 0

которое было бы удобнее трактовать. ? Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:

d 2 u/dy 2 ? a 2 (d 2 u/dx 2 ) = 0.

Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ? и ? при помощи уравнений

? = х + ау

? = х ? ау

Отсюда будет

d 2 u/dy 2 ? a 2 (d 2 u/dx 2 ) = d 2 u/(d ? d ?)

и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простое

d 2 u/(d ? d ?) = 0

которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будет

и = П( ?) + Ф(?)

(см. Интегрирование уравнений). ? Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. Интегральное исчисление.

Д. Граве.

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона.