К статье МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Касательные. На рис. 1 показан фрагмент кривой y = 2x - x2, заключенный между x = -1 и x = 3. Достаточно малые отрезки этой кривой выглядят прямыми. Иначе говоря, если Р - произвольная точка этой кривой, то существует некоторая прямая, проходящая через эту точку и являющаяся приближением кривой в малой окрестности точки Р, причем чем меньше окрестность, тем лучше приближение. Такая прямая называется касательной к кривой в точке Р. Основная задача дифференциального исчисления заключается в построении общего метода, позволяющего находить направление касательной в любой точке кривой, в которой касательная существует. Нетрудно представить себе кривую с резким изломом (рис. 2). Если Р - вершина такого излома, то можно построить аппроксимирующую прямую PT1 - справа от точки Р и другую аппроксимирующую прямую РТ2 - слева от точки Р. Но не существует единственной прямой, проходящей через точку Р, которая одинаково хорошо приближалась к кривой в окрестности точки P как справа, так и слева, следовательно касательной в точке P не существует.
На рис. 1 касательная ОТ проведена через начало координат О = (0,0). Угловой коэффициент этой прямой равен 2, т.е. при изменении абсциссы на 1 ордината увеличивается на 2. Если x и y - координаты произвольной точки на ОТ, то, удаляясь от О на расстояние х единиц вправо, мы удаляемся от О на 2y единиц вверх. Следовательно, y/x = 2, или y = 2x. Это уравнение касательной ОТ к кривой y = 2x - x2 в точке О.
Необходимо теперь объяснить, почему из множества прямых, проходящих через точку О, выбрана именно прямая ОТ. Чем же прямая с угловым коэффициентом 2 отличается от других прямых? Существует один простой ответ, и нам трудно удержаться от искушения привести его, используя аналогию с касательной к окружности: касательная ОТ имеет с кривой только одну общую точку, тогда как любая другая невертикальная прямая, проходящая через точку О, пересекает кривую дважды. В этом можно убедиться следующим образом.
Поскольку выражение y = 2x - x2 можно получить вычитанием х2 из y = 2x (уравнения прямой ОТ), то значения y для графика оказываются меньше знаний y для прямой во всех точках, за исключением точки x = 0. Следовательно, график всюду, кроме точки О, расположен ниже ОТ, и эта прямая и график имеют только одну общую точку. Кроме того, если y = mx - уравнение какой-нибудь другой прямой, проходящей через точку О, то обязательно найдутся две точки пересечения. Действительно, mx = 2x - x2 не только при x = 0, но и при x = 2 - m. И только при m = 2 обе точки пересечения совпадают. На рис. 3 показан случай, когда m меньше 2, поэтому справа от О возникает вторая точка пересечения.
То, что ОТ - единственная невертикальная прямая, проходящая через точку О и имеющая с графиком лишь одну общую точку, не самое главное ее свойство. Действительно, если мы обратимся к другим графикам, то вскоре выяснится, что отмеченное нами свойство касательной в общем случае не выполняется. Например, из рис. 4 видно, что вблизи точки (1,1) график кривой y = x3 хорошо аппроксимируется прямой РТ, имеющей однако, с ним более одной общей точки. Тем не менее, нам хотелось бы считать РТ касательной к этому графику в точке Р. Поэтому необходимо найти какой-то иной способ выделения касательной, чем тот, который так хорошо послужил нам в первом примере.
Предположим, что через точку О и произвольную точку Q = (h,k) на графике кривой y = 2x - x2 (рис. 5) проведена прямая (называемая секущей). Подставляя в уравнение кривой значения x = h и y = k, получаем, что k = 2h - h2, следовательно, угловой коэффициент секущей равен
При очень малых h значение m близко к 2. Более того, выбирая h достаточно близким к 0, мы можем сделать m сколь угодно близким к 2. Можно сказать, что m "стремится к пределу", равному 2, когда h стремится к нулю, или что предел m равен 2 при h, стремящемся к нулю. Символически это записывается так:
Тогда касательная к графику в точке О определяется как прямая, проходящая через точку О, с угловым коэффициентом, равным этому пределу. Такое определение касательной применимо в общем случае.
Покажем преимущества этого подхода еще на одном примере: найдем угловой коэффициент касательной к графику кривой y = 2x - x2 в произвольной точке P = (x,y), не ограничиваясь простейшим случаем, когда P = (0,0).
Пусть Q = (x + h, y + k) - вторая точка на графике, находящаяся на расстоянии h справа от Р (рис. 6). Требуется найти угловой коэффициент k/h секущей PQ. Точка Q находится на расстоянии
над осью х.
Раскрывая скобки, находим:
Вычитая из этого уравнения y = 2x - x2, находим расстояние по вертикали от точки Р до точки Q:
Следовательно, угловой коэффициент m секущей PQ равен
Теперь, когда h стремится к нулю, m стремится к 2 - 2x; последнюю величину мы и примем за угловой коэффициент касательной PT. (Тот же результат получится, если h принимает отрицательные значения, что соответствует выбору точки Q слева от P.) Заметим, что при x = 0 полученный результат совпадает с предыдущим.
Выражение 2 - 2x называется производной от 2x - x2. В старину производную также называли "дифференциальным отношением" и "дифференциальным коэффициентом". Если выражением 2x - x2 обозначить f(x), т.е.
то производную можно обозначить
Для того, чтобы узнать угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в какой-нибудь точке, необходимо подставить в f ?(x) соответствующее этой точке значение х. Таким образом, угловой коэффициент f ?(0) = 2 при х = 0, f ?(0) = 0 при х = 1 и f ?(2) = -2 при х = 2.
Производную также обозначают у ?, dy/dx, Dхy и Dу.
Тот факт, что кривая y = 2x - x2 вблизи данной точки практически неотличима от ее касательной в этой точке, позволяет говорить об угловом коэффициенте касательной как об "угловом коэффициенте кривой" в точке касания. Такие образом, мы можем утверждать, что угловой коэффициент рассматриваемой нами кривой имеет в точке (0,0) угловой коэффициент 2. Можно также сказать, что при x = 0 скорость изменения y относительно x равна 2. В точке (2,0) угловой коэффициент касательной (и кривой) равен -2. (Знак минус означает, что при возрастании x переменная y убывает.) В точке (1,1) касательная горизонтальна. Мы говорим, что кривая y = 2x - x2 имеет в этой точке стационарное значение.
Максимумы и минимумы. Мы только что показали, что кривая f(x) = 2x - x2 стационарна в точке (1,1). Так как f ?(x) = 2 - 2x = 2(1 - x), ясно, что при x, меньших 1, f ?(x) положительна, и, следовательно, y возрастает; при x, больших 1, f ?(x) отрицательна, и поэтому y убывает. Таким образом, в окрестности точки (1,1), обозначенной на рис. 6 буквой М, значение у растет до точки М, стационарно в точке М и убывает после точки М. Такая точка называется "максимумом", поскольку значение у в этой точке превосходит любые его значения в достаточно малой ее окрестности. Аналогично, "минимум" определяется как точка, в окрестности которой все значения y превосходят значение у в самой этой точке. Может также случиться, что хотя производная от f (x) в некоторой точке и обращается в нуль, ее знак в окрестности этой точки не меняется. Такая точка, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом, называется точкой перегиба.
В качестве примера найдем стационарную точку кривой
Производная этой функции равна
и обращается в нуль при x = 0, х = 1 и х = -1; т.е. в точках (0,0), (1, -2/15) и (-1, 2/15). Если х чуть меньше -1, то f ?(x) отрицательна; если х чуть больше -1, то f?(x) положительна. Следовательно, точка (-1, 2/15) - максимум. Аналогично, можно показать, что точка (1, -2/15) - минимум. Но производная f ?(x) отрицательна как до точки (0,0), так и после нее. Следовательно, (0,0) - точка перегиба.
Проведенное исследование формы кривой, а также то обстоятельство, что кривая пересекает ось х при f(x) = 0 (т.е. при х = 0 или ) позволяют представить ее график примерно так, как показано на рис. 7.
В общем, если исключить необычные случаи (кривые, содержащие прямолинейные отрезки или бесконечное число изгибов), существуют четыре варианта взаимного расположения кривой и касательной в окрестности точки касания Р. (См. рис. 8, на котором касательная имеет положительный угловой коэффициент.)
1) По обе стороны от точки Р кривая лежит выше касательной (рис. 8,а). В этом случае говорят, что кривая в точке Р выпукла вниз или вогнута.
2) По обе стороны от точки Р кривая расположена ниже касательной (рис. 8,б). В этом случае говорят, что кривая выпукла вверх или просто выпукла.
3) и 4) Кривая располагается выше касательной по одну сторону от точки Р и ниже - по другую. В этом случае Р - точка перегиба.
Сравнивая значения f ?(x) по обе стороны от Р с ее значением в точке Р, можно определить, с каким из этих четырех случаев приходится иметь дело в конкретной задаче.
Приложения. Все изложенное выше находит важные приложения в различных областях. Например, если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 200 футов в секунду, то высота s, на которой они будут находиться через t секунд по сравнению с начальной точкой составит
Действуя так же, как в рассмотренных нами примерах, находим
эта величина обращается в нуль при с. Производная f?(x) положительна до значения с и отрицательна по истечении этого времени. Следовательно, s возрастает до , затем становится стационарной, а после убывает. Таково общее описание движения брошенного вверх тела. Из него мы узнаем, когда тело достигает высшей точки. Далее, подставляя t = 25/4 в f (t), мы получаем 625 футов, максимальную высоту подъема. В данной задаче f ?(t) имеет физический смысл. Эта производная показывает скорость, с которой тело движется в момент времени t.
Рассмотрим теперь приложение другого типа (рис. 9). Из листа картона площадью 75 см2 требуется изготовить коробку с квадратным дном. Каковы должны быть размеры этой коробки, чтобы она имела максимальный объем? Если х - сторона основания коробки и h - ее высота, то объем коробки равен V = x2h, а площадь поверхности равна 75 = x2 + 4xh. Преобразуя уравнение, получаем:
откуда
Производная от V оказывается равной
и обращается в нуль при х = 5. Тогда
и V = 125/2. График функции V = (75x - x3)/4 показан на рис. 10 (отрицательные значения х опущены как не имеющие физического смысла в данной задаче).
Производные. Важная задача дифференциального исчисления - создание методов, позволяющих быстро и удобно находить производные. Например, несложно посчитать, что
(Производная от постоянной, разумеется, равна нулю.) Нетрудно вывести общее правило:
где n - любое целое число или дробь. Например,
(На этом примере видно, как полезны дробные показатели степени.)
Приведем некоторые важнейшие формулы:
Существуют также следующие правила: 1) если каждая из двух функций g(x) и f(x) имеет производные, то производная их суммы равна сумме производных этих функций, а производная разности равна разности производных, т.е.
2) производная произведения двух функций вычисляется по формуле:
3) производная отношения двух функций имеет вид
4) производная функции, умноженной на константу, равна константе, умноженной на производную этой функции, т.е.
Часто бывает, что значения функции приходится вычислять поэтапно. Например, чтобы вычислить sin x2, нам необходимо сначала найти u = x2, а затем уже вычислить синус числа u. Производную таких сложных функций мы находим с помощью так называемого "цепного правила":
В нашем примере f(u) = sin u, f ?(u) = cos u, следовательно,
откуда
Эти и другие, аналогичные им, правила позволяют сразу же выписывать производные многих функций.
Линейные аппроксимации. То обстоятельство, что, зная производную, мы можем во многих случаях заменить график функции вблизи некоторой точки ее касательной в этой точке, имеет огромное значение, поскольку с прямыми легче работать.
Эта идея находит непосредственное приложение в вычислении приближенных значений функций. Например, довольно трудно вычислить значение при x = 1,033. Но можно воспользоваться тем, что число 1,033 близко к 1 и что . Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен значению производной (x1/3)? = (1/3)x-2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид
или
На этой прямой при х = 1,033
Полученное значение y должно быть очень близко к истинному значению y; и, действительно, оно лишь на 0,00012 больше истинного. В математическом анализе разработаны методы, позволяющие повышать точность такого рода линейных приближений. Эти методы обеспечивают надежность наших приближенных вычислений.
Только что описанная процедура наводит на мысль об одном полезном обозначении. Пусть P - точка, соответствующая на графике функции f переменной х, и пусть функция f(x) дифференцируема. Заменим график кривой вблизи точки Р касательной к нему, проведенной в этой точке. Если х изменить на величину h, то ордината касательной изменится на величину h?f ?(x). Если h очень мало, то последняя величина служит хорошим приближением к истинному изменению ординаты y графика. Если вместо h мы напишем символ dx (это не произведение!), а изменение ординаты y обозначим dy, то получим dy = f ?(x)dx, или dy/dx = f ?(x) (см. рис. 11). Поэтому вместо Dy или f ?(x) для обозначения производной часто используется символ dy/dx. Удобство этого обозначения зависит главным образом от явного появления цепного правила (дифференцирования сложной функции); в новых обозначениях эта формула выглядит следующим образом:
где подразумевается, что у зависит от u, а u в свою очередь зависит от х.
Величина dy называется дифференциалом у; в действительности она зависит от двух переменных, а именно: от х и приращения dx. Когда приращение dx очень мало, величина dy близка к соответствующему изменению величины y. Но предполагать, что приращение dx мало, нет необходимости.
Производную функции y = f(x) мы обозначили f ?(x) или dy/dx. Часто оказывается возможным взять производную от производной. Результат называется второй производной от f (x) и обозначается f ??(x) или d 2y/dx2. Например, если f(x) = x3 - 3x2, то f ?(x) = 3x2 - 6x и f ??(x) = 6x - 6. Аналогичные обозначения используются и для производных более высокого порядка. Однако, чтобы избежать большого количества штрихов (равного порядку производной) четвертую производную (например) можно записать как f (4)(x), а производную n-го порядка как f (n)(x).
Можно показать, что кривая в точке выпукла вниз, если вторая производная положительна, и выпукла вверх, если вторая производная отрицательна.
Если функция имеет вторую производную, то изменение величины y, соответствующее приращению dx переменной х, можно приближенно вычислить по формуле
Это приближение, как правило, лучше, чем то, которое дает дифференциал f?(x)dx. Оно соответствует замене части кривой уже не прямой, а параболой.
Если у функции f(x) существуют производные более высоких порядков, то
Остаточный член имеет вид
где ? - некоторое число между x и x + dx. Приведенный выше результат называется формулой Тейлора с остаточным членом. Если f(x) имеет производные всех порядков, то обычно Rn ? 0 при n ? ?.