очень болтливый человек, пустомеля. Оборот каламбурного происхождения: балалайка "народный щипковый музыкальный инструмент" и балалайка "балаболка" (прост.)
Значение БЕССТРУННАЯ БАЛАЛАЙКА (НЕОДОБР.) в Справочнике по фразеологии
Что такое БЕССТРУННАЯ БАЛАЛАЙКА (НЕОДОБР.)
Справочник по фразеологии. 2012