анализ случайных процессов, раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся случайных процессов (т. е. функций X ( t ) времени t , определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x ( t ) случайного процесса X ( t ), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе - наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X ( t ); статистические данные о X ( t ), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций x ( t ) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X ( t ) (например, о наблюденных значениях процесса Y ( t ), являющегося суммой X ( t ) и некоторого 'шума' N ( t ), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x ( t )). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез : здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N ( t ) и интересующего наблюдателя сигнала X ( t ), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N ( t ). В случаях, когда форма сигнала X ( t ) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X ( t ) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей случайных величин X ( t ) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени t t1 самого процесса Х ( t ) (в предположении, что t1 лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y ( t1 ) какого-либо вспомогательного процесса Y ( t ), статистически связанного с Х ( t ) (см. Случайных процессов прогнозирование ). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на непараметрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X ( t ) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины Х ( t ), или корреляционную функцию E x ( t ) X ( s ) процесса Х ( t ), или, в случае стационарного случайного процесса X ( t ), его спектральную плотность f ( l )
При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X ( t ), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X ( t ) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x ( t ) в течение промежутка времени 0 £ t £ T , можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X ( t ). В частности, среднеарифметическое значение
в случае стационарного случайного процесса X ( t ) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания E x ( t ) m (т. е. сходится при Т -¥ к истинному значению оцениваемой величины m ); аналогично этому выборочная корреляционная функция
,
где t > 0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции B (t)E x ( t ) X ( t + t).
Однако Фурье преобразование функции - так называемая периодограмма IT (l) процесса X ( t ) - уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности f (l), являющейся преобразованием Фурье функции В (t); при больших значениях Т периодограмма IT (l) ведёт себя крайне нерегулярно и при Т - ¥ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности f (l) по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X ( t ), большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот l.
При исследовании статистических свойств оценок вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе X ( t ) (например, допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса X ( t ) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в которых предполагается, что изучаемый процесс X ( t ) является марковским процессом того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.
Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1-2, М., 1971-72; Хеннан Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974: Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), М., 1974.
А. М. Яглом.