Значение ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов

c2 X12+...+Xf2 ,

независимых случайных величин X1 ,..., Xf , подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция 'Х.-к.' р. выражается интегралом

,

Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c2 равны соответственно f , 2 f , 8 f . Сумма двух независимых случайных величин c12 и c22, с f1 и f2 степенями свободы подчиняется 'Х.-к.' р. с f1 + f2 степенями свободы.

Примерами 'Х.-к.' р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению . В терминах 'Х.-к.' р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение :

.

Если количество слагаемых f суммы c2неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению:

,

где

.

Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления Ff ( x ) при больших значениях f :

В математической статистике 'Х.-к.' р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y1 ,..., Yn - случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а , причём ошибки измерений Yi - а независимы, распределены одинаково нормально и

Е ( Yi - a ) 0, Е ( Yi - а )2 s2,

то статистическая оценка неизвестной дисперсии s2 выражается формулой

,

где

, .

Отношение S2/ s2 подчиняется 'Х.-к.' р. с f n - 1 степенями свободы. Пусть x1 и x2 - положительные числа, являющиеся решениями уравнений Ff ( x1 ) a/2 и Ff ( x2 ) 1 - a/2 [a - заданное число из интервала (0, 1/2)]. В таком случае

Р { х1 < S2/ s 2 < x2 ) Р { S2/x2 < s2 < S2/x1 } 1-a.

Интервал ( S2/x1 , S2/x2 ) называют доверительным интервалом для s2, соответствующим коэффициенту доверия 1 - a. Такой способ построения интервальной оценки для s2 часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой s2 s02(s02 - заданное число): если s02 принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе s2 s02. Если же

s02 £ S2/x2 или s02 ³ S2/x1 ,

то нужно считать, что s2 > s02 или s2 < s02 соответственно. Такому критерию отвечает значимости уровень , равный a.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

Л. Н. Большев.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.