распределение с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов
c2 X12+...+Xf2 ,
независимых случайных величин X1 ,..., Xf , подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция 'Х.-к.' р. выражается интегралом
,
Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c2 равны соответственно f , 2 f , 8 f . Сумма двух независимых случайных величин c12 и c22, с f1 и f2 степенями свободы подчиняется 'Х.-к.' р. с f1 + f2 степенями свободы.
Примерами 'Х.-к.' р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению . В терминах 'Х.-к.' р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение :
.
Если количество слагаемых f суммы c2неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению:
,
где
.
Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления Ff ( x ) при больших значениях f :
В математической статистике 'Х.-к.' р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y1 ,..., Yn - случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а , причём ошибки измерений Yi - а независимы, распределены одинаково нормально и
Е ( Yi - a ) 0, Е ( Yi - а )2 s2,
то статистическая оценка неизвестной дисперсии s2 выражается формулой
,
где
, .
Отношение S2/ s2 подчиняется 'Х.-к.' р. с f n - 1 степенями свободы. Пусть x1 и x2 - положительные числа, являющиеся решениями уравнений Ff ( x1 ) a/2 и Ff ( x2 ) 1 - a/2 [a - заданное число из интервала (0, 1/2)]. В таком случае
Р { х1 < S2/ s 2 < x2 ) Р { S2/x2 < s2 < S2/x1 } 1-a.
Интервал ( S2/x1 , S2/x2 ) называют доверительным интервалом для s2, соответствующим коэффициенту доверия 1 - a. Такой способ построения интервальной оценки для s2 часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой s2 s02(s02 - заданное число): если s02 принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе s2 s02. Если же
s02 £ S2/x2 или s02 ³ S2/x1 ,
то нужно считать, что s2 > s02 или s2 < s02 соответственно. Такому критерию отвечает значимости уровень , равный a.
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.
Л. Н. Большев.