средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее
,
геометрическое среднее
,
гармоническое среднее
,
квадратичное среднее
.
Если все числа x i ( i l,2,..., n) положительны, то можно для любого a ¹ 0 определить степенное С.
частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s (а равняется a , h и q соответственно при a 1, -1 и 2 . При a - 0 степенное С, s a стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 g . Важную роль играет неравенство s a £ s b, если a £ b, в частности
h £ g £ a £ q .
Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы
,
где f-1 (h) - функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция ), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое С. получается, если f (x)x, геометрическое С. - если f (x) log x, гармоническое С. - если f (x) 1/x, квадратичное С. - если f (x)x2.
Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.
в частности при a 1,
,
которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 р2 ... pn . Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка ), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g1 . Затем для пары a1 , g1 снова находятся арифметическое С. a 2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb , существование которого было доказано К. Гауссом , называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b ; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд 'теорем о среднем', устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f ( x ) непрерывна на отрезке [ а, b ] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с , принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f ( b ) - f ( a ) ( b-a ) f- (c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f ( x ) непрерывна на отрезке [ а, b ], а j( x ) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала ( а, b ) такая, что
.
В частности, если j( x ) 1, то
.
Вследствие этого под средним значением функции f ( x ) на отрезке [ а, b ] обычно понимают величину
.
Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.