Значение СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ

спирали, синус-спирали, кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид

, (*)

где n - рациональное число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия )

(соответственно при n 1, -1, -2, 2, , ). Логарифмическую спираль можно рассматривать как некоторый предельный случай С. с. при n 0 [хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей С. с., лежащие в конечной части плоскости, от С. с., имеющих бесконечные ветви. Проекция центра кривизны любой точки С. с. на радиус-вектор этой точки делит его в отношении n: 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора С. с. вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания. Поэтому С. с. называются также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном n С. с. состоит из n лепестков, лежащих в углах

,

касаясь в начале координат сторон угла. Углы

,

не содержат точек С. с., отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а .2-1/ n правильный n -угольник P1, P2,..., Рп , то множество точек, произведение расстояний которых до точек P1, P2,..., Рп равно a n/2, является С. с. Площадь одного лепестка С. с. равна

,

а периметр равен

где G( х ) - гамма-функция . При натуральном n С. с. имеет n осей симметрии. Если n 1/q, то кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r а, j p/2 и после оборота на угол q p/2 приходящей в полюс. С. с. при n p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая геометрия ) , обладающей р осями симметрии, наклоненными к вертикальной оси под углами 2p qk / p, 0 £ k < p. Изучение С. с. с отрицательными значениями п сводится к изучению С. с. с положительными п при помощи преобразования инверсии. С. с. применяются в некоторых вопросах механики, геодезии и др.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012