электромагнитного поля , величины, характеризующие электромагнитное поле. В электростатике векторное электрическое поле можно характеризовать одной скалярной функцией - потенциалом электростатическим . В общем случае для описания произвольного электромагнитного поля вместо двух векторов - магнитной индукции В и напряжённости электрического поля Е можно ввести две др. величины: векторный потенциал А ( х, у, z, t ) и скалярный потенциал j(x, у, z, t ) (где х, у, z - координаты, t - время), при этом В и Е однозначно выражаются через А и j
В rot А ,
E -gradj,(1)
где с - скорость света в вакууме.
Уравнения для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения , и поэтому введение П. э. п. упрощает задачу нахождения переменных электромагнитных полей. Существенное упрощение уравнений для П. э. п. возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы
А' А + gradc ,
, (2)
где c - произвольная функция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые уравнениями (1), не изменятся. Инвариантность электромагнитного поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит название калибровочной или градиентной инвариантности. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на П. э. п. дополнительное условие. Обычно таким дополнительным условием является условие Лоренца:
div A + ,(3)
где e и m- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. При использовании условия (3) уравнения для П. э. п. в однородной среде (e const, m const), получаемые из уравнений Максвелла, приобретают одинаковую форму:
,(4)
;
здесь D- Лапласа оператор , r и j - плотности заряда и тока, a u- скорость распространения электромагнитного поля в среде. Если r 0 и j 0 , то П. э. п. удовлетворяют волновым уравнениям .
Уравнения (4) позволяют определить потенциалы А и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) - характеристики электромагнитного поля В и Е. Частные решения уравнений (4), удовлетворяющие причинности принципу , называют запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х-, у-, z' в предшествующий момент времени t t - R/ u , где
- расстояние от источника поля до точки наблюдения.
Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются суммированием (интегрированием) элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx'dy'dz-, с учётом времени запаздывания:
j ( х, у, z, t ) ,
A ( х, у, z, t ) ,
Через П. э. п. выражается функция Гамильтона Н заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле:
,(6)
где p - импульс частицы, e и m - ее заряд и масса. Соответственно через П. э. п. выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квантовой механике .
Лит. см. при ст. Максвелла уравнения .
Г. Я. Мякишев.