теория, раздел математической статистики , посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка ). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.
О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки ) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.
Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x1, x2,..., xn. Разности
d 1 x1 - a,-, d n xn - a
называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d 1 ,..., d n . Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b Ed1.. . Еdnназывается систематической ошибкой, а разности d 1 - b,..., d n - b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b 0 , и в этой ситуации d 1 ,..., d n суть случайные ошибки. Величину , где а - квадратичное отклонение , называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений
,
а разности D 1 x1 - ,..., Dn xn - называются кажущимися ошибками. Выбор в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон ); оценка лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть
DE ( - а ) 2 s 2/n.
Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s2 /n. Если распределения d i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы , не меньше D . Если же распределение d i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.
Если дисперсия s 2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной
(E s2 s2, т. е. s2 - несмещенная оценка для s 2 ), если случайные ошибки d i имеют нормальное распределение, то отношение
подчиняется Стьюдента распределению с n - 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а ' (см. Наименьших квадратов метод ).
Величина ( n - 1 ) s2/ s 2 при тех же предположениях имеет распределение c2 (см. 'Хи-квадрат' распределение ) с n - 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s ' s. Можно показать, что относительная погрешность | s - s | Is не будет превышать числа q с вероятностью
w F ( z2, n - 1 ) - F ( z1, n - 1 ) ,
где F ( z, n - 1 ) - функция распределения c2,
, .
Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.
Л. Н. Большев.