функция (матем.), аналитическая функция , осуществляющая взаимно однозначное отображение одной области в плоскости комплексного переменного на другую. Изучение функции, однолистной в некоторой односвязной области , может быть сведено к изучению двух функций, однолистных внутри круга | z | £ 1 . Однолистную в круге | z | < 1 функцию называют нормированной, если f (0) 0 и f - (0) 1 . Семейство S нормированных функций, однолистных в круге | z | < 1, достаточно хорошо изучено. Можно дать оценки некоторых величин, связанных с О. ф., справедливые для любой функции из S . Если разложить функцию f (z) из семейства S в ряд Тейлора
f (z) z + a2z2 + a3z3 + ...,
то будут выполняться неравенства: | a2 | £ 2, | аз | £ 3 . Известная проблема коэффициентов из теории О. ф. ставится так: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на комплексные числа a2, a3, a4,... для того, чтобы ряд z + a2z2 + - + a3z 2 + ... был рядом Тейлора некоторой О. ф. В настоящее время (1974) проблема коэффициентов не решена.