Значение МАЛЫЕ ВЫБОРКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

МАЛЫЕ ВЫБОРКИ

выборки , статистические выборки столь малого объёма n , что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n - ¥. Особенности статистической оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x1 , x2 , ..., xn из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s2. Обозначим

,

.

Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

не зависит от а и s.

Вероятность w неравенства - t w < t < t w и равносильного ему неравенства

(1)

вычисляется при этом по формуле

w (2)

где s ( t , n - 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее t w (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а , имеющей значимости уровень w.

При больших n формула (2), связывающая w и t w, приближённо может быть заменена формулой

(3)

Эту формулу иногда неправильно применяют для определения t w при небольших n , что приводит к грубым ошибкам. Так, для w 0,99 по формуле (3) находим t0,99 2,58; истинные значения t 0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

n 2 3 4 5 10 20 30

t 0,99

63,66

9,92

5,84

4,60

3,25

2,86

2,76

Если пользоваться формулой (3) при n 5, то получится вывод, что неравенство

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

Об оценке по М. в. теоретической дисперсии s2 см. 'Хи-квадрат' распределение . Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, 'Известия АН СССР. Серия математическая', 1942, т. 6, | 1-2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Ю. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012