отношение (сложное, или ангармоническое) четырёх точек M 1 , M 2 , М з , M 4 на прямой ( рис. 1 ), число, обозначаемое символом ( M 1 M 2 M 3 M 4) и равное
При этом отношение M 1 M 3 /M 3 M 2 считается положительным, если направления отрезков M 1 M 3 и M 3 M 2 совпадают, и - отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек, рассматривается Д. о. четырёх прямых , проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом ( m 1 m 2 m 3 m 4) . Оно равно
причём угол ( mi mj ) между прямыми mi и mj ) рассматривается со знаком.
Если точки M 1 , M 2 , М з , M 4 лежат на прямых m 1, m 2, m 3, m 4 ( рис. 1 ), то
( M 1 M 2 M 3 M 4) ( m 1 m 2 m 3 m 4),
поэтому, если точки M 1, M 2, М з, M 4 и M- 1, M 2-, М з-, M 4- получены пересечением одной четвёрки прямых m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (рис. 1), то ( M 1-, M 2-, М з-, M 4-) ( M 1 M 2 M 3 M 4).
Если же прямые m 1, m 2, m 3, m 4 и m 1-, m 2-, m з-, m 4- проектируют одну четвёрку точек M 1, M 2, М з, M 4 ( рис. 2 ), то ( m 1- m 2- m з- m 4-) ( m 1 m 2 m 3 m 4).
Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях , т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии . Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно - 1 . Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение . ) .
Э. Г. Позняк.