[Г-функция, Г ( х )], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) (n - 1) ! 1T2... ( n - 1 ). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Г.-ф. для действительных х > 0 определяется равенством
другое обозначение:
Г (х + 1) p(x) х!
Основные соотношения для Г.-ф.:
Г (х + 1) хГ (х) (функциональное уравнение);
Г (х) Г (1 - х) p/sin px (формула дополнения);
Частные значения:
При больших х справедлива асимптотич. Стирлинга формула
Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Г.-ф. распространяется и на комплексные значения аргумента.
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., 3 изд., М., 1959; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.