игры (матем.), понятие теории игр (см. Игр теория ). А. и. - игры, в которых участвуют два игрока (обычно обозначаемые I и II) с противоположными интересами. Для А. и. характерно, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и наоборот, поэтому совместные действия игроков, их переговоры и соглашения лишены смысла. Большинство азартных и спортивных игр с двумя участниками (командами) можно рассматривать как А. и. Принятие решений в условиях неопределённости, в том числе принятие статистических решений, также можно интерпретировать как А. и. Определяются А. и. заданием множеств стратегий игроков и выигрышей игрока I в каждой ситуации, состоящей в выборе игроками своих стратегий. Таким образом, формально А. и. есть тройка - А , В , Н- , в которой А и В - множества стратегий игроков, а Н ( а , b ) - вещественная функция (функция выигрыша) от пар ( а , b ), где а Î A , b Î В . Игрок I, выбирая а , стремится максимизировать Н ( а , b ),а игрок II, выбирая b , - минимизировать Н ( а , b ). А. и. с конечными множествами стратегий игроков называются матричными играми .
Основой целесообразного поведения игроков в А. и. считается принцип минимакса . Следуя ему, I гарантирует себе выигрыш
точно так же II может не дать I больше, чем
Если эти 'минимаксы' равны, то их общее значение называется значением игры, а стратегии, на которых достигаются внешние экстремумы, - оптимальными стратегиями игроков. Если 'минимаксы' различны, то игрокам следует применять смешанные стратегии, т. е. выбирать свои первоначальные ('чистые') стратегии случайным образом с определёнными вероятностями. В этом случае значение функции выигрыша становится случайной величиной, а её математическое ожидание принимается за выигрыш игрока I (соответственно, за проигрыш II). В играх против природы оптимальную смешанную стратегию природы можно принимать как наименее благоприятное априорное распределение вероятностей её состояний. В А. и. игроки, используя свои оптимальные стратегии, ожидают получения (например, в среднем, если игра повторяется многократно) вполне определённых выигрышей. На этом основан рекуррентный подход к динамическим играм в тех случаях, когда они сводятся к последовательностям А. и., решения которых можно найти непосредственно (например, если эти А. и. являются матричными). А. и. составляют класс игр, в которых принципиальные основы поведения игроков достаточно ясны. Поэтому всякий анализ более общих игр при помощи А. и. полезен для теории. Пример такого анализа даёт классическая кооперативная теория игр , изучающая общие бескоалиционные игры через системы А. и. каждой из коалиций игроков против коалиции, состоящей из всех остальных игроков.
Лит.: Бесконечные антагонистические игры, под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1963.
Н. Н. Воробьев.